今日は、開成、灘と並び立つ筑波大駒場中の入試問題1⃣を解いていきましょう！！
２０２１年 筑波大駒場中1⃣ 円の面積、規則性
（１）5秒後の大きい円の半径は、5＋5＝10cm、小さい円の半径は、4＋5＝9cmなので、求める斜線部分の面積は、
10×10×3.14ー9×9×3.14 = (100ー81)×3.14 = 19×3.14 = 59.66㎠
（２）大きい円の半径を大、小さい円の半径を小とすると、求める斜線部分の面積は、
大×大×3.14ー小×小×3.14 = (大×大ー小×小)×3.14
となる。 この面積が2021㎠をこえるので、
(大×大ー小×小)×3.14 > 2021
大×大ー小×小 > 2021÷3.14
大×大ー小×小 > 643.63…
なので、大×大ー小×小の答えが644以上になればよい。
ここで、大×大ー小×小の答えを0秒から見ていくと、
0秒・・・5×5ー4×4 = 25ー16 = 9 = 5＋4
1秒後・・6×6ー5×5 = 36ー25= 11 = 6＋5
2秒後・・7×7ー6×6 = 49ー36= 13= 7＋6
・・・・・
と、大×大ー小×小の答えは、大＋小となることが分かる。
また、大きい円の半径は、小さい円の半径よりも1cm長いので、
大 = 小＋1
とおけるので、
大×大ー小×小 = 大＋小 = 小＋1＋小 = 小×2＋1 ≧ 644
になればよい。 よって、
小×2＋1 ≧ 644
小×2 ≧ 644ー1 = 643
小 ≧ 643÷2
小 ≧ 321.5
小円の半径は整数なので、小＝322cmが求める半径であるが、小さい円の半径は、最初4cmで、それが毎秒1cmずつ大きくなって322cmになるのは、
322ー4 = 318秒後
（３）（２）より、斜線部の面積は、
0秒・・・(5×5ー4×4)×3.14 = 9×3.14
1秒後・・(6×6ー5×5)×3.14 = 11×3.14
2秒後・・(7×7ー6×6)×3.14 = 13×3.14
・・・・・
と、1秒増えるごとに、3.14にかける数字が、9、11、13・・と、２ずつ増える。
そこで、「ある時刻」における２つの円のあいだの部分の面積を
S = □×3.14 ㎠
とすると、1秒後の面積は
T = (□＋2)×3.14 ㎠
とおける。 問題文より、
T ÷ S < 1.02 となるので、
{(□＋2)×3.14}÷(□×3.14) < 1.02
(□＋2)÷□ < 1.02
□＋2 < □×1.02
となる。 ここで、仮に、□＋2 ＝ □×1.02 として、□を求めると、下の線分図より、
不等式 □＋2< □×1.02 に戻して考えると、□＞100となるので、□が一番小さいのは、□＝101である。
ここで、S = □×3.14 ㎠ の□は、（２）より、
□ ＝ 大×大ー小×小 = 大＋小 = 小＋1＋小 = 小×2＋1
を指すので、
□ ＝小×2＋1 = 101
小×2 = 101ー1 = 100
小 = 100÷2
小 = 50
小さい円の半径は、最初4cmで、それが毎秒1cmずつ大きくなって50cmになるのは、
50ー4 = 46秒後
今日のまとめ
今日の問題の（１）は、多くの現小５の生徒さんが解けたことと思います。
（２）の問題では、解説の「大×大ー小×小の答えは、大＋小となる」に気づけば計算が楽になりますが、大×大ー小×小の答えの規則性より、
(大×大ー小×小)×3.14 > 2021
(9＋2×〇)×3.14 > 2021
という式で求めることもできますね。
（３）の不等式も、上の解説文のように線分図を使えば、筑駒を目指す小５の生徒さんならば、解けると思います。
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