小5でも解ける?2020年渋谷教育学園渋谷中算数入試1⃣

前回、今年の全国難関高校の東大・京大など大学合格実績に関して、次回にでも改めて書くと書きましたが、今回は、いつもの入試算数解法を書きます。
今日は、渋谷教育学園渋谷中、通称「渋渋」の今年の問題を解く予定ですが、この「渋渋」「渋幕(渋谷教育学園幕張中)」は、40年近く前に九州の田舎で中学受験を経験した私や、首都圏のパパママ読者の方でも中学受験を経験された20年~30年前には、聞いたこともない学校だったに違いありません。

ちなみに、渋渋は25年前の1995年開校、渋幕は1983年開校だそうで、年配の方や私も含めた地方の方には馴染みが薄いと思いますが、昨今の東大合格者数はすごいですね!

特に、渋幕の方は、東大合格者数でも全国10位以内の常連ですからね!

*最近4年間の東大・京大合格者数(2020年は、前期合格者数のみ)

     東大/京大合格実績数 渋渋 渋幕
2020年(前期のみ) 34名/6名 74名/13名
2019年 19名/9名 72名/10名
2018年 25名/5名 48名/13名
2017年 25名/3名 78人/11名

さらに、中学入試における偏差値も見てみますと、

四谷大塚 2020年度用合不合判定テスト(第6回)80偏差値一覧

灘 71 開成 70 渋幕 70 麻布 67 渋渋 66

日能研 2020年中学入試予想R4一覧(2019年12月11日発行)

灘 71 開成 71 渋幕 68 麻布 67 渋渋 64

渋幕の方は、東大合格実績でも中学入試偏差値でも、灘、開成レベルに到達しそうですね!

では、今日は、渋谷教育学園渋谷中の算数入試1⃣を解きましょう!

渋幕の入試は、渋渋よりも問題が難しく、小5の現時点で解くのは厳しいので、夏ぐらいに解く予定です。

2020年 渋谷教育学園渋谷中 1⃣(1)(2)分数・小数の計算、かけ算

(1)は、分数が含まれていて、テキストでは表示しにくいので、解法を画像で表示します。

(2)2020にまず一桁の整数をかけて、0と1のみでできる整数を作れるのは、5である。

2020×5=10100

次に、一の位が5の二桁の数字をかけるが、(1)十の位が1~4の場合と、(2)十の位が5~9の場合で分けて考えると、下の計算式のようになる。

(1)△に1~4を入れると、□=2,4,6,8となり、■=3,5,7,9となるので、0、1のみの数字にはならない。

(2)▲=の場合、◎=0となり、●=1となるので、「111100」と、0,1のみの数字になる。

▲=6~9の場合、◎=2,4,6,8となり、●=3,5,7,9となるので、0、1のみの数字にはならない。

よって、答え:55

2020年 渋谷教育学園渋谷中 1⃣(3)面積

(3)下図のように、正方形ABCDの対角線の交点を0、大きい正方形をEFGHとし、正方形ABCDに外接する小円と正方形EFGHの辺EF、辺HGの接する点をI、Jとする。

まず、正方形ABCDをひし形とみると、面積は、

ABCD = AC×BD÷2 = 20㎠

よって、AC×BD = AC×AC = 40㎠・・①

ここで、ABCDは正方形なので、AC=BDであり、また、AC(BD)は小円の直径である。

よって、小円の面積は、

小円 = 半径(AO)×半径(BO)×3.14

=(AC/2)×(BD/2)×3.14

=AC×BD×1/4×3.14

①より、AC×BD = AC×AC = 40㎠なので、

小円 = 40㎠×1/4×3.14 = 10×3.14 = 31.4㎠

また、上図より、赤線IJは、小円の直径(AC)であり、正方形EFGHの一辺(EH)と長さが等しい。

IJ = AC = EH

ここで、正方形EFGHの面積は、EH×EHとなるので、

正方形EFGH = EH×EH = AC×AC = 40㎠

また、正方形EFGHをひし形とみると、面積は、

正方形EFGH = EG×FH÷2 = 40㎠

よって、EG×FH = 40㎠×2 = 80㎠・・②

ここで、EFGHは正方形なので、EG=FHであり、また、EG(FH)は大円の直径である。

よって、大円の面積は、

大円 = 半径(EO)×半径(FO)×3.14

=(EG/2)×(FH/2)×3.14

=EG×FH×1/4×3.14

②より、EG×FH = 80㎠なので、

大円 = 80㎠×1/4×3.14 = 20×3.14 = 62.8㎠

求める斜線の部分は、大円の面積ー正方形EFGHの面積なので、

62.8-40 = 22.8㎠

 

2020年 渋谷教育学園渋谷中 1⃣(4)(5)場合の数、食塩水濃度、旅人算

(4)まず、積が9の倍数になるB君とC君のサイコロの目の出方を考える。

積が9の倍数になるのは、(3の倍数)×(3の倍数)の場合なので、B君、C君ともに3か6が出ればよいから、

(B、C) = (3、3)(3、6)(6、3)(6、6)の4通り。

次に、積が4になるA君とB君のサイコロの目の出方を考える。

2人のサイコロの目の積が4になるのは、

(ⅰ)偶数×偶数  (ⅱ)4×奇数

の場合である。

(ⅰ)偶数×偶数・・上の(B、C)4通りのうち、B君の目が偶数なのは、(B、C)=(、3)(、6)のときで、A君が偶数の目なのは、

(A、B、C)=(2、6、3)(2、6、6)(4、6、3)(4、6、6)(6、6、3)(6、6、6)の6通り

(ⅱ)4×奇数・・上の(B、C)4通りのうち、B君がになる場合はないので、A君の目がで、B君の目が奇数になるので、

(A、B、C)=(4、3、3)(4、3、6)の2通り

よって、求める場合の数は、(ⅰ)(ⅱ)の場合の数の和になるので、

6+2 = 8通り

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(5)Aの食塩の量は、300g×0.06 = 18

Bの食塩の量は、300g×0.03 = 9g

A、B2つの食塩水とも、この後、10gずつ食塩水の量が増えていくことになり、同じ濃さになるということは、A、Bの食塩水の中に含まれる食塩の量が等しくなるということである。

ここで、Aの食塩水は、水しか増えないので、食塩の量は、18のままである。

Bの食塩水の中に含まれる食塩の量は、1分間に、8%の食塩水10gに含まれる食塩の量だけ増えていく。

10×0.08 = 0.8g

よって、9gの食塩量が、1分あたり0.8gずつ増えて、18に達するまでの時間は、

(18-9)÷0.8 = 11.25分

0.25分 = 60秒×0.25 = 15秒

よって、答え 11分15秒後

 

2020年 渋谷教育学園渋谷中 1⃣(6)平均

(6)A~E君の5人の所持金の平均は、一の位を四捨五入して、1230円ということは、

1225円 ≦ A~E平均額 < 1235円 (1225円以上1235円未満)

これを5倍すると、A~Eの合計金額になるので、

1225×5 ≦ A+B+C+D+E < 1235×5

6125円 ≦ A+B+C+D+E < 6175円 (6125円以上6175円未満)

5人の合計金額は、6175円未満の整数になるので、

6125円 ≦ A+B+C+D+E ≦ 6174円 (6125円以上6174円以下

次に、F君も含めたA~F君の6人の所持金の平均は、一の位を四捨五入して、1260円ということは、

1255円 ≦ A~E平均額 < 1265円 (1255円以上1265円未満)

これを6倍すると、A~Fの合計金額になるので、

1255×6 ≦ A+B+C+D+E+F < 1265×6

7530円 ≦ A+B+C+D+E+F < 7590円 (7530円以上7590円未満)

6人の合計金額は、7590円未満の整数になるので、

7530円 ≦ A+B+C+D+E+F ≦ 7589円 (7530円以上7589円以下

この二組の合計金額を数直線上に表すと、以下の図のようになる。

ここで、A~Eの合計金額にF君の所持金を足すと、A~Fの合計金額になるので、上図のように、

A~Eの合計金額が最小の6125円のとき、F君の所持金を足して、A~F合計金額が最大の7589円になるときが、F君の所持金が最大ということが分かるので、

7589-6125 = 1464円 (F君所持金最大)

同様に、上図より、A~Eの合計金額が最大の6174円のとき、F君の所持金を足して、A~F合計金額が最小の7530円になるときが、F君の所持金が最小ということが分かるので、

7530ー6174 = 1356円 (F君所持金最小)

よって、F君の所持金は、1356円以上1464円以下 である。

 

今日のまとめ

今日の問題では、(3)の面積が難しかったですね。 ただ、半径が分からないものの、半径×半径の値が分かる(今回の問題では、正方形の面積の1/2の値)ことによって、円の面積を求めさせる問題は、難関校ではよく出題されますので、この解法パターンは覚えておいてほしいと思います。

また、(5)の食塩水濃度の問題は、旅人算の考え方ですね。 この問題自体はそれほど難しくありませんが、旅人算は、速さにしか使えないと思い込んでいる生徒もいると思いますので、これから、いろいろなパターンに慣れていってほしいと思います。

最後に、(6)の最大、最小の問題ですが、

6125円 ≦ A+B+C+D+E ≦ 6174円

7530円 ≦ A+B+C+D+E+F ≦ 7589円

から、うっかり、お互いの最小同士のひき算(7530-6125=1405)や最大同士のひき算(7589-6174=1415)で、

「1405円以上1415円以下」

としないように、気を付けてくださいね。

*ランキングに参加しました。 応援のクリックをよろしくお願いいたします!
にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

中学校受験ランキング