今日は、早稲田中の今年の入試問題2⃣を解いていきましょう！
２０２１年 早稲田中2⃣（１） 角度
正五角形の一つの内角は、108°（180°×(5ー2）÷5 ＝ 540°÷5 = 108°）
正六角形の一つの内角は、120°（180°×(6ー2）÷6 ＝ 720°÷6 = 120°）
また、下の図のように、A～Iの点をおき、対角線BD、GDを引くと、
△CBDと△FDGは、正五角形の一辺を両辺とする二等辺三角形になるので、
∠CBD = ∠CDB = ∠FDG = ∠FGD = 36°←（180°ー108°)÷2 = 36°
また、対角線BD＝GDなので、△DBGも二等辺三角形である。
頂角∠BDG = ∠BDE＋∠EDF＋∠FDG
＝（108°ー36°）＋（360°ー120°ー108°×2）＋36°
＝ 72°＋24°＋36°＝ 132°
よって、∠DBG（●）= (180°ー132°)÷2 = 48°÷2 = 24°
したがって、
∠ア＝∠CBAー（∠CBD＋∠DBG）
＝ 108°ー（36°＋24°）
＝108°ー60°＝ 48°
２０２１年 早稲田中2⃣（２） 面積
辺DAの延長線と辺CBの延長線の交点をGとすると、下図のようになる。
ここで、△GABと△GCDは、∠Gが共通の角で、どちらも直角を持っているので、△GABと△GCDは相似（拡大縮小）の関係である。
その対応する辺は、AB（2cm）とCD（5cm）であり、△GABと△GCDの面積の比は、辺の比の2乗になるので、
△GAB：△GCD = 2×2：5×5 = 4：25
よって、四角形ABCDは、大きい三角形△GCDから小さい三角形△GABを引いた図形なので、
四角形ABCD：△GAB = 25ー4：4 = 21：4
この四角形ABCDの面積が63㎠なので、
四角形ABCD：△GAB = 21：4 = 63㎠：□㎠
比の内積＝外積より、
4×63 = 21×□
□ = 252÷21 = 12
よって、△GAB = 12㎠
また、△GABと△GCDは相似なので、∠GBA＝∠GDC（＝∠FDE）
さらに、∠GAB ＝ ∠FED ＝ 90°、AB = ED = 2cm なので、
△GABと△FEDは合同な図形であり、面積も等しい。
よって、△FED = △GAB = 12㎠
ここで、求めるべき五角形ABCEFは、四角形ABCDから△FEDを引いたものなので、
五角形ABCEF = 四角形ABCDー△FED
＝63㎠ー12㎠ = 51㎠
２０２１年 早稲田中2⃣（３） 体積、展開図
この図を組み立てると、下の図のようになる。
１つの正方形は、底面ABCDであり、４つの直角二等辺三角形は、△EAB、△EAD、△FCB、△FCDであり、２つの正三角形は、△EBFと△EDFである。
ところで、これは斜めから書いた立体図なので、△EBFと△EDFは、正三角形に見えないかもしれませんが、下図のような立方体を想定すると、辺EF、EB、FB、ED、FDは、全て一辺が6cmの正方形の対角線なので、長さが等しいということが分かると思います。
そして、この立方体の図が、元の立体の体積を求めるのに必要となります。
求める立体図ABCDEFは、一辺が6cmの立方体ABCD-HEGFから、赤い破線の三角錐B-EFGとD-EFHを取り除いた立体である。
よって、求める立体図ABCDEFの体積は、
6×6×6ー6×6÷2×6÷3×2
＝216ー72 = 144㎤
今日のまとめ
今日の（１）角度の問題では、対角線をいろいろ引いて、二等辺三角形CBDはすぐに分かると思いますが、もう一つの二等辺三角形DBGも見つけられるかどうかにかかっていますね。
角度の問題は、比較的解きやすいので、確実に正解したいですね！
（２）の図形の問題は、四角形ABCD内にいろいろ線を引いて、解こうとする生徒が多く、現小５の現段階で、解説のように赤い三角形GABをつけたして、相似や合同で解ける生徒は、成績上位のわずかな生徒ではないでしょうか？
今の段階では、解説をよく読んで理解し、相似や合同の復習をしっかりやってほしいと思います。
そして（３）の立体図形も考えづらかったと思います。 正方形を底面にし、直角二等辺三角形をその四辺に立てるのは思い浮かんでも、正三角形がどういう状態で、立体の面をなすのかがイメージしづらかったことと思います。
また、立体図形を正確にイメージできたとしても、解説のように、立方体から三角錐を２個取り除いて、体積を求める解法を思いつかない生徒さんが多いかもしれませんね・・
今日の問題は、（１）を絶対解き、（２）、（３）は現時点では、解説が理解できればいいかなというレベルの問題でした(;^_^A
Zoomを使った一対一オンライン授業のお知らせ
難関中学合格を目指し、当ブログをご覧いただいている読者のみなさま、いつもありがとうございます(^_^)
そんな読者の皆様に本日はお知らせがあります。
実は、3月1日から、web会議ツールのZoom（ズーム）を使って、読者の皆さまと中学受験算数の一対一のオンライン授業を始めたいと思っています。
いつも当ブログで解いているような難関中学校の入試問題レベルの難問でなくとも、塾や学校の宿題で分からない算数の問題を教えてほしいといった感じのことでもいいので、ご興味がある読者の方は、当ブログのプロフィールの下の「重吉へのメール」から、ご希望のメールをお送りください。
ちなみに、3月1日以降の月曜日から金曜日の朝10時から、昼13時までの間で、1時間程度のオンライン授業を予定しております。
対象の生徒さんは、新小6、新小5年生ですが、新小4の生徒さんも可能です。
ただし、朝10時から昼13時という時間帯は、生徒さんは学校に行かれてますので、実際の授業は、お母様かお父様にすることになります。
ズームの授業は、録画が可能ですので、その録画を後でお子様に見せられてもいいですし、ズーム授業を受けられたお母様、お父様が、お子様に解き方を教えられてもいいと思います。
当ブログは、「パパママ算数教室」と名乗っている通り、基本的には、お子様の中学受験の算数を教えてあげたい、手伝ってあげたいお父様、お母様向けのブログですので、ズーム授業も親御さんが受ける前提で、このような時間帯にしております。
また、私自身が、ズームを使用するのも初めての上、オンライン授業や親御さん相手の授業も初めての手探り状態でのスタートとなりますので、最初のうちは無料で行います。
３月下旬から4月上旬にかけて、春季講習で出来ない期間もありますが、その間を除いて1ヶ月間ぐらいは無料でオンライン授業をやりたいと思いますので、3月1日から4月15日ぐらいまでは無料にしたいと思います。
また、時間帯も朝10時からとなっていますが、需要があれば、朝9時ぐらいからスタートしてもいいですし、授業も1時間程度としていますが、40分程度でも、1時間以上でも、ご要望により、柔軟に対応したいと思います。
というように、私自身も初めてのことなので、実際に無料のオンライン授業を経験しながら、良い形にしていこうと思っていますので、ご興味がある方は、お気軽にぜひメールをしていただきたいと思います！
読者のみなさま、よろしくお願いいたします！( ^_^)／
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