雨のステイホーム週間に難関中過去問特訓!2020年女子学院中算数入試2⃣、3⃣、4⃣

今日は、ゴールデンウィーク休みが始まって初めての雨のため、やっとステイホームな気分になりました・・

さて、今日は、女子学院中の算数入試2⃣、3⃣、4⃣を解いていきましょう!!

2020年 女子学院中 2⃣ 相似、円周

(1)この問題は、先日解いた

2020年 慶應義塾中等部 3⃣(3)

と同じ、直角三角形の中に接する正方形の一辺を求める問題なので、同じように、相似(拡大・縮小)を利用して解けますが、もっと簡単な解き方で解いてみます。

まず、下図のように、A、B、C、D以外に、点E、Fを打ち、△EFCを△AFCと△AECに分けることができる。

ここで、△AFCの底辺をCFと見ると、高さは、正方形ABCDの一辺ABとなり、同様に、△AECも底辺をCEと見ると、高さは、正方形ABCDの一辺ADとなる。

よって、△AFC = CF×AB÷2 = 12×AB÷2 = AB

△AEC = CE×AD÷2 = 5×AD÷2 = 2.5×AD

また、△AFC = 12×5÷2 = 30㎠ で、△EFC = △AFC+△AEC なので、

30㎠ = 6×AB+2.5×AD

四角形ABCDは正方形なので、AB=ADだから、

30㎠ = 6×AB+2.5×AB = 8.5×AB

したがって、AB = 30÷8.5 = 60÷17 = 60/17 cm

(2)(1)より、影をつけた部分は、半径60/17cm、中心角90°の扇形の周なので、

AB+AD+弧BD = 60/17 +60/17 + 60/17×2×3.14÷4 = 60/17×(1+1+1.57) = 60/17×3.57 = 214.2/17 = 214.2÷17 = 12.6cm

2020年 女子学院中 3⃣ 語句問題(素数、逆数、円周率)

(1)素数

(2)

(3)円周直径

2020年 女子学院中 4⃣ 速さ、立体図形

3の点から4の点に進む部分は、半径3cm、中心角90°の扇形の弧なので、

3×2×3.14÷4 = 4.71cm

また、点Pが1→2→3→・・と、どの点を進んでいるのか、グラフ上に示すと、下のようになる(0秒のとき、点1を出発し、9.21秒後に点5に到達し、16.71秒後に一周して、点1に戻ってくることを意味する)

点5から点1までは、16.71ー9.21 = 7.5秒かかる。

また、点1から一周して点1に戻るまでの距離と時間を示すと、下のようになる。

 

(ア)上図より、点Pが、1→2→3→・・→9→1と一周する距離は、

6+3+4.71+6+3+6+3+6+3 = 40.71cm

(ウ)点Pが、1→2→3→4まで動く距離だから、

6+3+4.71 = 13.71cm

問題文より、「点Pが6cmの辺上を動くときの速さは、3cmの辺上を動くときの速さの2倍」ということは、「点Pが辺6cmの辺上をうごく時間と3cmの辺上をうごく時間は等しい」ことになる。

ここで、下の段の点5から点1に進むまで、7.5秒かかるが、点5から点1までの5つの辺を動く時間は全て等しい。

よって、一辺を進む時間は、7.5秒÷5 = 1.5秒かかる。

したがって、3cmの辺を進む速さは、3cm÷1.5秒 = 秒速 2cm 、6cmの辺を進む速さは、秒速 2cm×2 =  秒速 4cm

(イ)14秒経過後の点Pの位置は、グラフより、点8と点9の間の辺上である。

ここで、点1から点8までかかる時間は、点5到着時点で、9.21秒なので、

9.21+1.5×3 = 13.71秒

よって、14秒ー13.71秒 = 0.29秒・・点8通過後0.29秒経つと、14秒地点である。

また、点8→9は6cmの辺なので、点Pは秒速4cmで移動しているので、0.29秒で動く距離は、

4×0.29 = 1.16cm

つまり、点8から1.16cm動いた点である。 よって、点1から点8までと1.16cm動いた距離は、

6+3+4.71+6+3+6+3+1.16 = 32.87cm

今日のまとめ

今日の問題2⃣の正方形の問題は、解答文中でも書いた通り、今年の慶応義塾中等部でも、同じような問題が出題されていましたね。

このように、似たような問題というのはよく出題されるので、志望校の過去問だけでなく、同レベルの中学校の過去問は解いておいた方がいいのです。

4⃣は、グラフ上の点が図形上のどの点か理解できれば、それほど難しくありませんが、(ウ)よりも(イ)の方が面倒なので、(イ)で手間取って、簡単な(ウ)も(イ)と一緒に捨てないように気を付けてくださいね!

*ちなみに、点3→4の弧の部分の速さを求める問題があったとしたら、以下のようにして求めます。

グラフより、点1から点5に進むまで、9.21秒かかるが、1→2、2→3、4→5の3辺は、それぞれ1.5秒ずつかかるので、3→4の弧の部分(4.71cm)を進むのにかかる時間は、

9.21-1.5×3 = 4.71秒

点Pは、3→4の弧の部分4.71cmを4.71秒で進むから、

4.71cm÷4.71秒 = 秒速1cm となる。

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